On suppose que \(a_n\ne0\) (\(\forall n\)) et \(\ell=\lim_n\frac{a_{n+1} }{a_n}\) existe
Montrer que $$R={{\frac1\ell}}$$

On pose \(u_n=\lvert a_nx^n\rvert\)
Alors on a : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_n\rvert}\lvert x\rvert{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\ell\lvert x\rvert$$

Critère de d'Alembert sur les séries numériques

D'après la règle de d'Alembert pour les séries numériques, on a la série CV pour \(\ell\lt 1\) et DV pour \(\ell\gt 1\) avec \(R=\frac1\ell\)

Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\frac{n!}{e^n}$$

Critère de d'Alembert

Soit \(u_n=\frac{n!}{e^n}\). Alors on a : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)!}{e^{n+1}}\frac{e^n}{n!}=\frac{n+1}{e}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}+\infty\gt 1$$donc la série diverge d'après le critère de d'Alembert

(Factorielle, Fonction exponentielle)

Préciser la nature de la série de terme général $$\sum\frac{n!}{n^n}$$

Initialisation du critère de d'Alembert
Soit \(u_n=\frac{n!}{n^n}\). Alors on a : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{n!}=\frac{n^n}{(n+1)^n}$$

C'est une forme indéterminée. Simplifions-la : $$\frac{n^n}{(n+1)^n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=e^{n\ln(1-\frac{n}{n+1})}$$

En utilisant un développement limité, on a : $$n\ln\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=n\left(\frac{-1}{n+1}+\varepsilon(n)\frac{-1}{n+1}\right)=\frac n{n+1}(-1+\varepsilon(n)){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}-1$$
Donc \(\frac{u_{n+1}}{u_n}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^{-1}\), donc la série converge d'après le critère de d'Alembert

(Puissance (Lien entre puissance et exponentielle), Logarithme népérien - Logarithme naturel (Développement limité en 0))

Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\frac{(n+1)!}{1.4.\ldots(3n+1)}a^n\quad\text{ avec }\quad a\gt 0$$

Initialisation du critère de d'Alembert
soit \(u_n=\frac{(n+1)!}{1.4.(3n+1)}a^n\). Alors on a : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+2)!a^{n+1}}{1.4.\ldots(3n+4)}\frac{1.4.\ldots(3n+1)}{(n+1)!a^{n}}=\frac{(n+2)a}{(3n+4)}$$

Équivalence \(\to\) traiter en fonction des différentes valeurs de \(a\)
$$\sim\frac{a}{3}$$
La série est donc convergente si \(a\lt 3\) et divergente si \(a\gt 3\) d'après la règle du quotient de d'Alembert

Cas particulier du critère de d'Alembert \(\to\) simplifier la puissance
On ne peut pas traiter le cas \(a=3\) à l'aide du critère de d'Alembert, il faut donc le traiter à part : $$\frac{(n+1)!}{1.4.(3n+1)}3^n=\frac{(n+1)!}{\cancel{3^n}1\cdot(1+\frac13)\cdots(n+\frac13)}\cancel{3^n}$$

Séparer la fraction en un produit de termes supérieures à \(1\) \(\to\) conclusion

$$=\frac{2}{1+\frac13}\times\frac3{2+\frac13}\times\cdots\times\frac{n+1}{n+\frac13}$$
Chaque membre de ce produit est supérieur à \(1\), donc on a \(u_n\not\to0\) et donc la série est divergente pour \(a=3\)

Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\frac{2\cdot4\cdots2n}{n^n}$$

Initialisation du critère de d'Alembert
Si \(u_n=\frac{2\cdot4\cdots2n}{n^n}\), alors on a : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2\cdot4\cdots(2n+2)}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{2\cdot4\cdots2n}=\frac{(2n+2)n^n}{(n+1)^{n+1}}=2\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$

Écriture de la fraction sous la forme \(1+\ldots\)
Or, on a : $$\frac n{n+1}=1+\left(\frac n{n+1}-1\right)=1+\frac{n-n-1}{n+1}=1-\frac1{n+1}$$

Passage à l'exponentielle + simplification avec une équivalence
On a donc : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=2\left(1-\frac1{n+1}\right)^n=2e^{n\ln(1-\frac1{n+1})}=2e^{n\times-\frac1{n+1}}=2e^{-\frac{n}{n+1}}$$
(car \(-\frac1{n+1}\longrightarrow0\))

On a donc : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\sim2e^{-1}=\frac2e\lt 1$$
La série est donc convergente d'après le critère de d'Alembert

(Logarithme népérien - Logarithme naturel (Equivalence))

Soit \(x\gt 0\)
On considère la série suivante : $$\sum \frac {x^n}{n(n+1)}$$
La série est-elle convergente ?
Même question avec \(x\lt 0\)

Règle du quotient de de d'Alembert
La série étant à termes positifs, on utilise le critère du quotient de d'Alembert :
Si \(u_n=\frac {x^n}{n(n+1)}\), alors on a : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=x\frac{n}{n+2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} x$$
Donc si \(x\lt 1\), la série converge et si \(x\gt 1\), la série diverge

Cas particulier \(\to\) série de Riemann
Pour \(x=1\), $$\frac{x^n}{n(n+1)}=\frac1{n(n+1)}\sim\frac1{n^2}$$c'est le terme général d'une série de Riemann convergente, la série est donc convergente

Cas négatif : réécriture
Soit maintenant \(x\lt 0\). Si \(u_n=\frac {x^n}{n(n+1)}\), alors $$u_n=\frac{(-1)^n\lvert x\rvert^n}{n(n+1)}$$

Si \(\lvert x\rvert\leqslant1\), alors la série \(\sum \frac {\lvert x^n\rvert}{n(n+1)}\) converge, donc \(\sum\frac {x^n}{n(n+1)}\) est absolument convergente, donc \(\sum\frac {x^n}{n(n+1)}\) converge

Si \(\lvert x\rvert\geqslant1\), alors on a : $$\lvert u_n\rvert=\frac {\lvert x\rvert^n}{n(n+1)}=\frac{e^{n\ln x}}{n(n+1)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}+\infty$$
Le terme général ne tend pas vers \(0\), la série est donc divergente

(Série absolument convergente)

Montrer que la série entière $$S(x)=\sum^{+\infty}_{p=0}{p^{2p}e^{-p}x^p\over p!}$$ a un rayon de convergence nul

D'Alembert
$$\frac{a_{p+1}}{a_p}=\frac1e\frac{(p+1)^{2p+1}}{p^{2p}}$$

Étude de la limite

$$=\frac1e\left(\frac{p+1}p\right)^{2p}(p+1)=\frac1e\left(1+\frac1p\right)^{2p}(p+1)\underset{+\infty}\sim e(p+1)\underset{p\to+\infty}\longrightarrow+\infty$$
Donc \(R=0\)